布拉格天文钟的数学原理

来源:数立方,原载於《数学文化》2010年第一卷第二期

作者:M.Krizek,A.Solcova,L.Somer

欢迎来到捷克共和国的首都——布拉格。这个中欧城市不但拥有「千塔之城」的美誉,而且更被联合国教科文组织列入世界文化遗产。不少举世闻名的数学家、物理学家和天文学家都在这片土地上度过光辉的岁月,留下许许多多永不磨灭的历史印记。其中的代表人物包括文艺复兴时期的义大利哲学家乔尔达诺·布鲁诺(Giordano Bruno)、丹麦天文学家第谷·布拉赫(Tycho Brahe)、其助手德国天文学家约翰尼斯·克卜勒(Johannes Kepler)、波希米亚数学家伯纳德·波尔查诺(Bernard Bolzano)、法国数学家奥古斯汀·柯西(August Cauchy)、挪威数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔(Niels Henrik Abel)、奥地利数学及物理学家克里斯提昂·都卜勒(Christian Doppler)、奥地利物理学及哲学家恩斯特·马赫(Ernst Mach)、相对论创立人德国理论物理学家阿尔伯特·爱因斯坦(Albert Einstein)和他的大学同僚乔治·皮克(Georg Pick),而皮克是教授爱因斯坦张量微积分的数学家之一。上述科学家在布拉格生活期间,建立了几个对後世影响深远的数学和物理学理论,并且从事相关之研究工作。十七世纪初,克卜勒根据第谷·布拉赫的观测结果,提出行星运动三大定律之第一、第二定律。十九世纪上半叶,波尔查诺给出了一个既有分形特徵,又不可微分的连续函数,并且以无限数集(infinite sets)爲题撰写了《无穷的诡论》(Paradoxes of Infinity,1851)。1842年,布拉格理工大学数学教授都卜勒在布拉格Ovocný trh(图1)的查理大学,首次就其创立的效应(後来称爲「都卜勒效应」)发表公开演讲。1911年至1912年,爱因斯坦在布拉格德国大学(Prague German University)担任理论物理学教授,醉心於广义相对论的研究工作。甚至着名捷克作家卡雷尔·恰佩克(Karel Capek)也是在布拉格发明「robot」这个字(捷克语Robota,意谓劳役、苦工)。本文後面会简单介绍这些与布拉格息息相关的伟人纪念碑和雕塑。接下来,本文集中讨论布拉格旧城广场中心的一个着名建筑物,分析其中有趣的数学问题。

布拉格旧城区中心(图1-2)有一个古色古香的天文钟(捷克语orloj,英语horologe)。无论是一般游客,或是热爱数学的人,都会慕名而来一睹这个举世稀有的珍品。本文将揭示天文钟与三角形数之间鲜爲人知的关系,探讨三角形数的特性,以及这些特性如何提升大钟的准确度。

布拉格天文钟的数学模型设计来自简·安卓亚(Joannes Andreae,捷克语Jan Ondrejuv,生於1375年,卒於1456年)。安卓亚又名辛蒂尔(Šindel),在国王查理四世於1348年所创办的布拉格大学任教。1410年,辛蒂尔当上大学院长,天文钟的设计意念终於通过卡丹市(Kadaň)的钟匠密库拉斯(捷克语Mikulás,即英语Nicholas)得以实现。

布拉格天文钟设於旧城市政厅一座约六十米高的钟楼内,而两个大钟盘(图3)则镶嵌在钟楼南面的外墙上。六百年来,天文钟经历过几次大型翻新,其中一次约在1490年,由克伦洛夫城(Ruze)的钟表工匠简恩(Jan,又名哈劳斯大师Master Hanus)带领进行。天文钟下钟盘的左方特别设置一面纪念碑,用来表彰这些钟匠们的付出和贡献。

天文钟的上钟盘是一个靠发条机制控制而运作的星盘,象徵天球(celestial sphere)由其北极通过南极落在切平面上的球极平面投影(stereographic projection)。钟盘的中心点相当於天球的南极,南极四周的最小内圆代表南回归线,而外圆则代表北回归线,两者之间的同心圆相当於天球赤道(图4)。

球极平面投影有一基本性质(由古希腊天文学家托勒密Ptolemy提出):

球体上所有异於北极的圆,经过球极平面投影法,在平面上的投影也是一个圆。

因此,天球黄道的投影也是圆形,用刻有十二星座图案的镀金钟圈表示。虽然天球黄道的中心点并不是南极点,但是镀金钟圈却神奇地绕着南极点转动(如图4所示)。此外,天文钟也指出了太阳在黄道上的大概位置、月球的运动和月相,以及日、月和十二星座各自的出、落和中天时间。

镀金太阳指针在罗马数字钟圈上转动,显示的是中欧时间(Central European Time,简称CET),值得留意的是,中欧时间和原来的布拉格当地时间相差只有138秒。旁边那枝镀金星星指针所显示的是恒星时(sidereal time)。最外那个钟圈上有金制的阿拉伯数字1至24,标示从日落起计算的古捷克时间;而下方黑色的阿拉伯数字1至12,是用来标示早在巴比伦时代已经开始使用的行星时间(planetary hours)。行星时间则由日出开始算起,与古捷克时间的计算方法相反。

钟盘下方的黑色圆形部分代表天文曙暮光(astronomical night),即太阳处於地平线下18度的时段;外围的棕色部分象徵黎明和黄昏(AVRORA和CREPVSCVLV标志着白昼和夜晚),而ORTVS和OCCASVS则代表日出和日落。

图5. 主钟的详图(後面那三个同心大齿轮十五世纪初开始运作)

天文钟的主装置有三个同心大齿轮,每个直径爲116厘米,最初由三个各有24齿的小齿轮驱动。第一个大齿轮有365齿,每个恒星日(即23小时56分4秒)推动星座钟圈转一周。第二个大齿轮有366齿,每一平太阳日(mean sun day)推动太阳指针转动一圈。由於地球环绕太阳的的公转轨道是椭圆形而非圆形,因此太阳在天球上的运动速度不均一。现时,星座钟圈的位置每年要经人手调校两次。第三个大齿轮有379齿,推动月亮指针根据月球的视运动(mean apparent motion)而转动。因爲月球轨道同样是椭圆形,所以月亮指针也需要不时以人手校准。月亮指针(图4)其实是个空心球体,内藏机关,可展示月相。这个指针设计於十七世纪,转动的动力来自椭圆环圈的运动。

下面的钟盘是个月历锺,上面有十二幅由马内斯(Josef Mánes)绘画的饼图画,每一年转一周,最上的钟针标示一年中的某一日,同时亦提供取名日(name days)等信息。

下述例子诠释了十五世纪钟表工匠的精湛技术。天文钟的机械组件里,有一个大齿轮,它的圆周上有24道齿槽,齿槽间的距离随圆周逐渐递增(图6-7)。这个装置使大钟每天重复地按时敲打一至二十四下。与大齿轮连着一个辅助齿轮有六道齿槽,齿轮圆周按照「1,2,3,4,3,2」的比例分成六段。这几个数字合起来构成了一个循环周期,令齿轮不断地重复转动。这六个数字的和是15。

每到整点,扣子便会升起,大小齿轮便会运转。耶稣十二门徒的小木偶会通过钟面两侧的小窗口列队绕行一圈,然後钟声徐徐响起。待扣子回落在齿槽时,两个齿轮就会停止转动。大钟每天敲打的次数是1+2+…+24=300下。由於300能被15整除,所以小齿轮每天同一时间的位置都是不变的。

大齿轮有120个内齿,啮合在一个针齿轮之中,针齿轮有六支围住小齿轮轴心的水平小横杆。大齿轮一天转一圈,而小齿轮则以高四倍左右的圆周速度一天转二十圈。这麽一来,就算大齿轮出现磨损的情况,小齿轮都可以保持天文钟按刻报时的准确度。与此同时,小齿轮能够有效地使大钟在每天凌晨一时,只敲打一次。从(图7)所见,大齿轮的第一、二个齿槽之间并没有轮齿,即便有,也会因爲太小而容易断开,所以,扣子只能够接触到小齿轮弧长爲一的轮齿。

Fig7.天文钟详图中小齿轮的位置,图中的扣子卡在大齿轮的十八时与十九时之间的齿距上。

从文献[2]得知,上述的数列能够不断被建构出来,直至无限大。可是,并不是所有周期数列都拥有如此巧妙的总和特性。例如,我们可以很快便知道1,2,3,4,5,4,3,2不可用,因爲6<4+3;而1,2,3,2也不可用,因爲2+1<4<2+1+2。

布拉格天文钟很可能是世上现存少数装有(图6)零件的大钟当中最古老的一个(文献[1],76页)。正因上述完美的总和特性,美国数学家斯洛恩(Sloane,参考书目[3]及[4,A028355,A028356]的作者)把1,2,3,4,3,2,1,2,3,4……称爲时钟数列(clock sequence)。

与天文钟的关系,并找出所有跟时钟数列1,2,3,4,3,2拥有相同特性的周期数列,亦即可应用在小齿轮构造的周期数列。设 N={1,2,⋯}。

若对任意正整数 k,存在一个正整数 n 使得

成立,那麽该周期数列 {ai} 会被称爲辛蒂尔(Šindel)数列,其中等号左边的三角形数 Tk 等於大齿轮所有时刻的总和 1+2+⋯+k,而右边数字的总和则表示小齿轮相应的转动圈数(图8)。我们在参考资料[2]证明了,上述条件可被一个弱得多的条件所取代,只需要有限个 k,那就是,序列a1,a2,…,ap,a1,a2,…的周期长爲 p,若存在正整数 n,使等式(1)对k=1,2,⋯,a1+a2+⋯+ap−1成立,那麽该数列就是辛蒂尔数列。这样便可在有限的运算次数中,检查某一周期 a1,⋯,ap 能否得出辛蒂尔数列。文献[2]也提供了查找辛蒂尔数列的显式算法。

图8. 每行上面的数代表了小齿轮的小节的长度;而下面的数表示第k个小时大钟敲打的次数。

离天文钟几米远的地方,竖立着一个爱因斯坦纪念牌,纪念他在1911年至1912年间,在旧城广场十七号暂住的岁月(见图9)。纪念牌旁边的哥德式教堂泰恩(Týn),安放了建於1601年的第谷·布拉赫的墓冢,供游人参观。沿旧城广场向前走,一直到契里特纳大街(Celetná Street)25号,就会看见波尔查诺纪念碑(图10)。旧城广场附近还有其它科学家的纪念碑及半身塑像,同样也值得参观。这些人物包括爱因斯坦(Vinicná7号、Lesnická7号)、都卜勒(查理广场20号、Obecnlhodvora7号;图11)、克卜勒(查理大街4号、Ovocnytrh12/573号),以及位於Parlerova街2号的克卜勒和布拉赫的大型雕像(图12)等。

作爲旅游热点,布拉格拥有不同历史风格的建筑物,罗马式、哥德式、文艺复兴、巴洛克等建筑在市内比比皆是,因此被誉爲最美、最浪漫的中欧城市之一。宏伟的布拉格城堡、艺术家和巴洛克雕塑处处可见的查理大桥(Charles Bridge),还有泥巴妖怪勾勒姆(Golem)传说的发源地——犹太区(Jewish Town)。相传勾勒姆是由德高望重的犹太教师罗乌(Rabbi Loew)在十六世纪末左右制造,用来帮助当时居住在布拉格的犹太人对抗迫害。此外,布拉格也是欧洲的文化重镇,拥有浓厚的音乐传统,历史上曾有多部着名作品在此公演。1787年10月29日,享负盛名的莫扎特歌剧《唐璜》在查理大学附近的艾斯特歌剧院(Estate Theatre)首度公演。总括来说,不管你对数学是否感兴趣,布拉格都会给你带来无穷乐趣。

参考文献

[1] Z. Horský: The astronomical clock of Prague, Panorama, Prague, 1988.
[2] M. Křížek, A. Šolcová, L. Somer: Construction of Šindel sequences, Comment. Math. Univ. Carolin. 48 (2007), 373–388.
[3] N. J. A. Sloane: My favorite integer sequences, arXiv:math.C0/0207175v1, 2002, 1–28.
[4] N. J. A. Sloane: The on-line encyclopedia of integer sequences, 2007, published electronically at http://www.research.att.com/~njas/sequences/

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责编:宫奥博

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